Я интересовался вопросом в Гагре - оказалось, что Визу там засунуть некуда, в госбанке мне мило объяснили, что до такого прогресса они пока не дожили. Думаю, что в Пицунде ситуация та же.
В Сухуме же есть коммерческие банки, соответственно и с пластиком полегче - если не банкоматы, то кэш точно есть в Гарант-банке -
http://www.garantbank.com
Ну это Виза. А вот Сберкарт обналичить в Абхазии вряд ли удастся, на случай крайнего голода могу посоветовать уличный банкомат в Сочи, нужно встать спиной к ж/д-вокзалу, повернуть налево и шагать метров 500, на первой встретившейся автобусной остановке он и стоит.